Esto requiere mucha investigación. Por lo general, como sabe, MYSQL administra la instancia de conexión desde el grupo de conexiones. A veces, sucede que todas las conexiones están en uso.
Esto nos lleva a 2 cuestiones:
1. Hay algunas consultas que tardan bastante en ejecutarse, por lo que no liberan la conexión (algunas consultas redundantes, consultas de ejecución prolongada, etc.)
2. La carga en el servidor es demasiado alta y la configuración del hardware no es suficiente para manejar tantos usuarios.
Hay que medir todo esto antes de llegar a una conclusión. Puedes modificar el archivo de configuración para aumentar la memoria, el número de conexiones, etc. ¡pero no creo que te ayude!