jquery php inserta datos en mysql sin actualizar la página

Si no desea utilizar un <form> y un submit botón que sería la forma absolutamente correcta de hacer esto, necesitará usar javascript y AJAX:

1. Suscríbase al evento onclick del ancla
2. Envíe una solicitud AJAX al servidor pasando el valor del nombre ingresado en el cuadro de texto

3. Cancelar la acción por defecto del enlace

   Añadir usuario

y el insert la función podría definirse en un archivo javascript separado:

function insert() {
    var name = document.getElementById('name').value;

    // TODO: send an AJAX request to the server

    return false;
}