¿Cómo aplicar una operación SUM sin agrupar los resultados en SQL?

Dependería de su servidor SQL, en Postgres/Oracle usaría funciones de ventana. En MySQL... no es posible afaik.

Tal vez puedas fingir así:

SELECT a.id, SUM(b.value) AS `sum`
FROM test AS a
JOIN test AS b ON a.`group` = b.`group`
GROUP BY a.id, b.`group`;