necesitas cambiar tu conexión así:
jdbc:mysql://database:3306/db_example
y agregue esto a su docker-compose en springapi
servicio:
links:
- database
por otro lado, puede usar wait- para-eso.sh
para verificar si la base de datos está activa, agregue una sección de comando en springapi
servicio:
command: ["path/to/wait-for-it.sh", "database:3306", "-t", "6000", "--", "YOUR ACTUAL COMMAND"]