¿Cómo usar las casillas de verificación para ingresar verdadero (1) o falso (0) en mySQL Y mostrar como está marcado en el formulario php / html?

Debe dar a las casillas de verificación un índice explícito en el HTML:

$i = 0;
while($shift_query = $result_shift_query->fetch_assoc())
    {
    echo "<tr>";    
    echo "<td><input type=\"hidden\" name=\"Shift_ID[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Name[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Short_Name[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"text\" name=\"Shift_Color[]\"></td>";
    echo "<td><input type=\"checkbox\" name=\"Shift_Trig[$i]\"";
        if($shift_query['Shift_Trig'] == '1')
            {
            echo " checked=\"checked\"";
            }
    echo " value=\"1\"></td>";
    echo "<td><input type=\"checkbox\" name=\"deleteBox[$i]\"></td>";
    echo "</tr>";
    $i++;
    }

En el código de actualización, al comienzo del ciclo, haga:

    if (!isset($trig[$i])) { $trig[$i] = 0; }

El resto del código de actualización no ha cambiado.