Cómo usar casillas de verificación para recuperar datos específicos en una base de datos

Veo al menos 2 errores en tu código.

1. Se supone que los valores de la matriz asociativa $column_names se pasan como nombres de campo, por lo que asumo que no son correctos, ya que tiene espacios en ellos (y como sé, WordPress por defecto no tiene tales nombres de campo.

2. si el usuario proporciona alguna selección, está agregando algunos nombres de campo adicionales a la vez que el usuario pasa y tiene dos puntos después de ellos, por lo que generará un error.

Reescribiría el código así

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`field1`', '2' => '`field2`', '3' => '`field3`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "*";
}

Además, como ha dicho, $wpdb->get_results ya devuelve los resultados:matriz, por eso obtiene los errores. Además, antes de llamar a mysql_fetch_assoc, es mejor comprobar si el parámetro pasado es recurso y si el número de filas no es 0.

if($result!==false && mysql_num_rows($result)>0){
    while( $row = mysql_fetch_assoc($result)){
        ...
    }
}  

*********** ACTUALIZAR ***********

según los últimos cambios prueba este código:

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`authorss`', '2' => '`research_source`', '3' => '`research_title`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
}

global $wpdb;

//DNI CHECKBOX + ALL
$tmp = $wpdb->get_results( "SELECT ".implode(",", $sql_columns)." FROM wp_participants_database"); 


echo "<table border='1' style='width:450px'>
    <tr>
    <th>authorss</th>
    <th>research_source</th>
    <th>research_title</th>";
foreach($column_names as $k => $v) { 
    if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries)))
        echo "<th>$v</th>";
}
echo "</tr>";

if(count($tmp)>0){
    for($i=0;$i<count($tmp);$i++){
        echo "<tr>";  
            foreach($tmp[$i] as $key=>$value){
                echo "<td>" . $value . "</td>";   
            }
            foreach($column_names as $k => $v) { 
                if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries))) {
                    echo "<th>".$row[$v]."</th>";
                }
            }
        echo "</tr>";
    }
}

echo '</table>';
?>