Instalación del controlador QMYSQL

Echa un vistazo a esta publicación para Qt5, también hay un conjunto separado de instrucciones para Qt4 (aunque algo similar).

Qt - Cómo obtener|compilar el controlador Mysql

1. Descargar una versión de MySQL
2. Descargar código fuente de Qt
3. Cree el complemento de MySQL para Qt
4. Copie la DLL de la carpeta de instalación de MySQL a una carpeta Qt (vea el enlace anterior)
5. Copie la DLL que creó para el complemento Qt MySQL en una carpeta Qt

Y, obviamente, cuando distribuyas, deberás recordar empaquetar esas DLL juntas (siempre verifica el controlador de dependencias)