1. Sí, puede tener varias conexiones de base de datos. No está abriendo una base de datos, está abriendo una conexión de base de datos. La base de datos está 'abierta' (es decir, en ejecución) todo el tiempo, en términos generales, ya sea que esté conectado a ella o no.
2. Depende... si solo tiene una conexión abierta en una página, entonces no necesita cerrarla porque se cerrará automáticamente cuando finalice PHP. Si tiene muchos, entonces podría hacer que el servidor de la base de datos sea más lento o hacer que el servidor de la base de datos se quede sin conexiones disponibles (solo puede tener una cierta cantidad de conexiones abiertas al mismo tiempo). Dicho esto, la mayoría de los servidores de bases de datos modernos pueden manejar cientos de conexiones simultáneas.
3. Opcional, pero recomendado. No es un gran problema para proyectos pequeños o medianos (es decir, si tiene menos de 100 visitantes simultáneos en un momento dado, probablemente no tendrá ningún problema). Dado que tiene muchos miles de visitantes por minuto, debe cerrar activamente la conexión de la base de datos tan pronto como termine, para liberarla lo antes posible.