Cadena MySQL a FECHA / HORA o TIMESTAMP

Necesitas STR_TO_DATE() para convertir la cadena en una fecha. Considere:

select str_to_date(
      'Wed, 18   Oct   2017 10:11:03 GMT',
      '%a, %d %b %Y %T GMT'
 )

Rendimientos:

2017-10-18 10:11:03

Una vez que sus cadenas se convierten en fechas, puede usar timestampdiff() para calcular la diferencia entre ellos y devolver el resultado a un tiempo usando sec_to_time() :

select
    person,
    taskID,
    sec_to_time(
            timestampdiff(
            second, 
            str_to_date(Start_time, '%a, %d %b %Y %T GMT'),
            str_to_date(End_time, '%a, %d %b %Y %T GMT')
        )
    ) time_on_task
from mytable

Demostración en DB Fiddlde :

| person | taskID | time_on_task |
| ------ | ------ | ------------ |
| Alpha  | 1      | 00:00:33     |
| Alpha  | 2      | 00:00:12     |
| Beta   | 1      | 00:00:46     |
| Alpha  | 3      | 00:01:10     |
| Gamma  | 1      | 03:03:42     |
| Beta   | 2      | 00:00:23     |