Algo como esto:
SELECT first_user.id_user, second_user.id_user, COUNT(first_user.id_user) AS total_matches
FROM likes AS first_user
JOIN likes AS second_user
ON second_user.id_artist = first_user.id_artist
AND second_user.id_user != first_user.id_user
GROUP BY first_user.id_user, second_user.id_user
ORDER BY total_matches DESC
LIMIT 1
Tenga en cuenta que esto no es muy eficiente. Una forma de evitar esto es crear una 'tabla de caché' que contenga el resultado de esta consulta con el LIMIT 1 porción eliminada. Agregue algunos índices relevantes y consulte esta tabla de caché. Puede configurar un trabajo cron para actualizar esta tabla periódicamente.
Ejemplo:
CREATE TABLE IF NOT EXISTS `likes` (
`id_user` varchar(50) DEFAULT NULL,
`id_artist` varchar(50) DEFAULT NULL
) ENGINE=MyISAM DEFAULT CHARSET=latin1;
INSERT INTO `likes` (`id_user`, `id_artist`) VALUES ('8', '39'), ('8', '37'), ('4', '37'), ('8', '24'), ('8', '7'), ('4', '28'), ('8', '28'), ('4', '27'), ('4', '11'), ('8', '49'), ('4', '7'), ('4', '40'), ('4', '29'), ('8', '22'), ('4', '29'), ('8', '11'), ('8', '28'), ('4', '7'), ('4', '31'), ('8', '42'), ('8', '25'), ('4', '25'), ('4', '17'), ('4', '32'), ('4', '46'), ('4', '19'), ('8', '34'), ('3', '32'), ('4', '21')
+---------+---------+---------------+
| id_user | id_user | total_matches |
+---------+---------+---------------+
| 8 | 4 | 7 |
+---------+---------+---------------+
