¿Cómo probar si el controlador JDBC está instalado correctamente y si la base de datos se puede conectar?

Solo verifica si Class#forName() en el controlador JDBC no arroja ClassNotFoundException .

try {
    Class.forName(driverClassName);
    // Success.
}
catch (ClassNotFoundException e) {
    // Fail.
}

Solo verifica si DriverManager#getConnection() o DataSource#getConnection() no arroja SQLException .

try (Connection connection = DriverManager.getConnection(url, username, password)) {
    // Success.
}
catch (SQLException e) {
    // Fail.
}