la tabla se especifica dos veces como destino para INSERT y como fuente de datos separada

MySQL lo hace permitir que se use la misma tabla para el origen y el destino de inserts . Solo necesita usar la sintaxis correcta:

INSERT INTO data_waktu_vaksinasi (id_binatang, id_vaksin, tanggal_vaksin, status_vaksin) 
     SELECT 1, 1, DATE_ADD(max(tanggal_vaksin), INTERVAL 1 YEAR), 'belum'
     FROM data_waktu_vaksinasi;