laravel busca varias palabras separadas por espacios

Así es como lo haces con Query\Builder , pero primero algunas notas adicionales:

// user can provide double space by accident, or on purpose:
$string = 'john  doe';

// so with explode you get this:
explode(' ', $string);
array(
  0 => 'john',
  1 => '',
  2 => 'doe'
)

// Now if you go with LIKE '%'.value.'%', you get this:
select * from table where name like '%john%' or name like '%%' or ...

Dicho esto, obviamente no puedes confiar en explode porque en el caso anterior obtendrías todas las filas.

Entonces, esto es lo que debes hacer:

$string = 'john  doe';

// split on 1+ whitespace & ignore empty (eg. trailing space)
$searchValues = preg_split('/\s+/', $string, -1, PREG_SPLIT_NO_EMPTY); 

$users = User::where(function ($q) use ($searchValues) {
  foreach ($searchValues as $value) {
    $q->orWhere('name', 'like', "%{$value}%");
  }
})->get();

Hay cierre en el where porque es una buena práctica envolver su or where cláusulas entre paréntesis. Por ejemplo, si su User modelo utilizado SoftDeletingScope y no harías lo que te sugerí, toda tu consulta se arruinaría.