Estoy seguro de que esto ya está resuelto, pero para personas con un problema similar.
También puede intentar varias uniones izquierdas para obtener todos los datos
SELECT *, IF (users.type = 1, p.name, c.name) AS name FROM users
LEFT JOIN private AS p ON (users.type = 1 AND users.id = p.user_id)
LEFT JOIN company AS c ON (users.type != 1 AND users.id = c.user_id)
