Script simple Ajax Jquery:¿cómo puedo obtener información para cada una de las filas de la tabla?

La antigua extensión de MySQL mysql está desactualizado, mejor usa mysqli o PDO !

mysql_fetch_row() ¡devuelve solo 1 fila! Tienes que ponerlo en un bucle, por ejemplo:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

También tienes que cambiar el JavaScript:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Por cierto, te recomendaría usar mysql_fetch_assoc() porque hace que su código sea más flexible y limpio.