Puede obtener el primero del mes, calculando el último día del mes anterior y agregando un día. Es incómodo, pero creo que es mejor que formatear una fecha como una cadena y usarla para el cálculo.
select
*
from
yourtable t
where
/* Greater or equal to the start of last month */
t.date >= DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 2 MONTH)), INTERVAL 1 DAY) and
/* Smaller or equal than one month ago */
t.date <= DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 1 MONTH)