Obtenga datos de la base de datos mysql usando php y jquery ajax

Hay dos errores de sintaxis en su llamada ajax:

$(document).ready(function(){
    function showRoom(){
        $.ajax({
            type:"POST",
            url:"process.php",
            data:{action:"showroom"},
            success:function(data){
                $("#content").html(data);
            }
        });
    }
    showRoom();
});

Tenga en cuenta que el ajax de jQuery espera un objeto como parámetro. Dentro de un objeto la sintaxis es

{ key : value }

Tenía type="POST", que es correcto en la sintaxis declarativa, pero incorrecto al definir una clave de objeto.

En segundo lugar, la propiedad de datos del objeto antes mencionado también debería ser un objeto. Así que en lugar de action=showroom debería ser

{action:"showroom"}