Está buscando el CONCAT
función.
mysql_query("SELECT CONCAT(first_name, last_name) As name FROM people WHERE (CONCAT(first_name, last_name) LIKE '%" . $term . "%')");
o incluso...
mysql_query("SELECT CONCAT(first_name, ' ', last_name) As name FROM people WHERE (CONCAT(first_name, ' ', last_name) LIKE '%" . $term . "%')");
No podría explicarte las razones detrás de esto (... pero tal vez alguien pueda dejar un comentario), pero no puedes usar el name alias para buscar ambos campos, debe CONCAT explícitamente de nuevo.
