Esto debería darte una lista de screen_names y el recuento total de todos los hashtags que usan.
SELECT foo.screen_name, SUM(foo.counts) FROM
(
SELECT screen_name,
LENGTH( tweet_text) - LENGTH(REPLACE(tweet_text, '#', '')) AS counts
FROM tweet_table
) as foo
GROUP BY foo.screen_name
Pero... es una consulta desagradable si la mesa es enorme. Podría especificar usuarios específicos en la selección interna si solo necesita recuentos para un solo usuario. Así:
SELECT foo.screen_name, SUM(foo.counts) FROM
(
SELECT screen_name,
LENGTH( tweet_text) - LENGTH(REPLACE(tweet_text, '#', '')) AS counts
FROM tweet_table WHERE screen_name = 'tweeter_user_1'
) as foo
GROUP BY foo.screen_name