Actualización de la columna para que contenga la posición de la fila

Esto debería funcionar

update 
content,
(
  select 
  @row_number:=ifnull(@row_number, 0)+1 as new_position,
  ContentID 
  from content
  where CategoryID=1
  order by position
) as table_position
set position=table_position.new_position
where table_position.ContentID=content.ContentID;

Pero preferiría aplicar esto primero, para desarmar la variable definida por el usuario

set @row_number:=0;

Añadido por Mchl:

Puedes hacerlo en una declaración como esta

update 
content,
(
  select 
  @row_number:=ifnull(@row_number, 0)+1 as new_position,
  ContentID 
  from content
  where CategoryID=1
  order by position
) as table_position,
(
  select @row_number:=0
) as rowNumberInit
set position=table_position.new_position
where table_position.ContentID=content.ContentID;