Cláusula WHERE en la declaración INSERT usando mysql/php

Eso no es un INSERTO. Eso es una ACTUALIZACIÓN . Las sentencias INSERT insertan un nuevo hilera. Las sentencias UPDATE actualizan un existente fila.

UPDATE issued_books
SET Book_4 = '$IssuedBookNumber'
WHERE Student_ID = '$Student_ID'

(Supongo que ha escapado correctamente $IssuedBookNumber y $Student_ID )