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Prueba esta consulta

SELECT
  a.id,
  a.start_hour,
  a.end_hour,
  TIMEDIFF(la.start_hour, a.end_hour) as `Free Time`
FROM appointment as a
  LEFT JOIN(SELECT * FROM appointment LIMIT 1,18446744073709551615) AS la
    ON la.id = a.id + 1
  LEFT JOIN (SELECT * FROM appointment) AS ra ON a.id = ra.id

Esto mostrará estos resultados

+---------------------------------------------+
¦ id ¦ start_hour BY ¦ end_hour   | Free Time |
¦----+---------------¦------------------------|
¦  1 ¦   08:00:00    ¦  08:15:00  | 05:45:00  |
¦  2 ¦   14:00:00    ¦  14:30:00  | 02:30:00  |
¦  3 ¦   17:00:00    ¦  17:45:00  | 03:15:00  |
¦  4 ¦   21:00:00    ¦  21:00:00  | (NULL)    |
+--------------------+------------------------+ 

También debe tener las 21:00:00 en la tabla o no podrá obtener la última diferencia horaria. Ingresé 21:00:00 como fecha de inicio y finalización en la tabla.

EDITADO

Esta es una consulta modificada

SELECT
  a.id,
  a.end_hour AS `Free time Start`,
  IFNULL(la.start_hour,a.end_hour) AS `Free Time End`,
  IFNULL(TIMEDIFF(la.start_hour, a.end_hour),'00:00:00') AS `Total Free Time`
FROM appointment AS a
  LEFT JOIN (SELECT * FROM appointment LIMIT 1,18446744073709551615) AS la
    ON la.id = (SELECT MIN(id) FROM appointment where id > a.id LIMIT 1)      

Y el resultado es

+--------------------------------------------------------+
¦ id ¦ Free time Start ¦ Free Time End | Total Free Time |
¦----+-----------------¦---------------------------------|
¦  1 ¦   08:15:00      ¦ 14:00:00      |    05:45:00     |
¦  2 ¦   14:30:00      ¦ 17:00:00      |    02:30:00     |
¦  3 ¦   17:45:00      ¦ 21:00:00      |    03:15:00     |
¦  4 ¦   21:00:00      ¦ 21:00:00      |    00:00:00     |
+----------------------+---------------------------------+  

Los puntos a aprender de esta consulta son

  1. Uso de la función Timediff. timediff('hora de finalización', 'hora de inicio')
  2. Unirse con el número superior
  3. Evite el primer registro en la combinación con un desplazamiento largo y un límite a partir de 1 en lugar de cero
  4. Uso de IFNULL ifnull('si aquí viene nulo','seleccione esto entonces')