Eso es porque mysql_query a veces devuelve boolean false (error de consulta). Tienes que comprobarlo:
$amn = mysql_query("SELECT * FROM `Messages` WHERE to_user='$usr' AND read='0'");
if($amn === false) {
var_dump(mysql_error());
}
else {
print_r(mysql_num_rows($amn));
}
El código anterior está escrito con mal estilo y está obsoleto. Use PDO con Excepciones en proyectos reales.