Error:debe declarar la variable escalar para insertar declaraciones en varias bases de datos

la variable @address solo vive en el lote en el que está definida, los lotes están delimitados por la instrucción go, donde queda fuera del alcance.

prueba esto:

declare @address varchar(50)
set @address = 'Hope'

insert into DB1.dbo.Address
 values (@address)

insert into DB2.dbo.Address
 values (@address)
go