Depende de la base de datos que esté utilizando. Una opción que funciona para SQL Server, Oracle y MySQL:
SELECT ROW_NUMBER() OVER (ORDER BY SomeField) AS Row, *
FROM SomeTable
Cambie SomeField y SomeTable según su tabla específica y el campo relevante para ordenar. Se prefiere que SomeField sea único en el contexto de la consulta, naturalmente.
En su caso, la consulta sería la siguiente (Faiz elaboró primero una consulta de este tipo):
SELECT ROW_NUMBER() OVER (ORDER BY client_name) AS row_number, client_name
FROM (SELECT DISTINCT client_name FROM deliveries) TempTable
Creo que no funcionará para SQLite (si alguien puede corregirme aquí, se lo agradecería), no estoy seguro de cuál es la alternativa allí.