Desencadenador SQL Insert para actualizar los valores de la tabla INSERTADOS

Debe actualizar la tabla de destino, no la tabla lógica. Sin embargo, te unes a la tabla lógica para averiguar qué filas actualizar:

UPDATE YourTable
SET TheColumnToBeUpdated = 
    (
    SELECT TheValueCol FROM AnotherTable.ValueCol
    WHERE AnotherTable.ValudCol1 = INSERTED.ValueCol1
    )
FROM YourTable Y
JOIN Inserted I ON Y.Key = I.Key
WHERE I.ValueCol IS NULL