Este formato indica una conexión local:
.\SQLEXPRESS
Desde otro servidor, deberá especificar un nombre de servidor o una dirección IP, por ejemplo:
192.168.1.205\SQLEXPRESS
YOURMACHINE\SQLEXPRESS
También deberá validar que la instancia sea SQL Server Express. De tu otra pregunta casi idéntica parece una instancia predeterminada.
También debe dejar de usar esta tonta técnica de instancia de usuario/attachDbFilename. Adjunte su base de datos a la instancia correctamente, luego haga referencia al nombre de la base de datos lógica usando Initial Catalog=aspnetdb;
en su cadena de conexión. Esta función de instancia de usuario quedó obsoleta por varias razones, y esta es sin duda una de ellas.
Por supuesto, puede haber otros problemas de red que impidan esto, p. si el servidor está en un dominio diferente, hay configuraciones de firewall que interfieren, etc. Pero su otro servidor nunca podrá acceder a su máquina usando un punto para el nombre del servidor.
EDITAR dando pequeños pasos porque obviamente mi consejo no está siendo seguido. Suponiendo que haya adjuntado la base de datos aspnetdb en el nuevo servidor, intente esto:
connectionString="data source=192.168.85.124\SQLEXPRESS;
Integrated Security=SSPI;
Initial Catalog=aspnetdb;"
Si después de todo no está utilizando una instancia con nombre de SQL Express, intente:
connectionString="data source=192.168.85.124;
Integrated Security=SSPI;
Initial Catalog=aspnetdb;"
Para la autenticación de SQL, use el mismo nombre de usuario/contraseña que usa en Management Studio:
connectionString="data source=192.168.85.124;
User ID=username; Password=password;
Initial Catalog=aspnetdb;"
Esta es la solución de problemas de 101 cosas. Si aún no puede hacer que esto funcione, es posible que deba contratar a un consultor durante 10 minutos para que lo arregle, ya que es imposible averiguar qué ha hecho y por qué no puede hacerlo funcionar.