Opción 1:
Cree una tabla temporal intermedia con todas las columnas que devuelve sp y luego haga esto:
INSERT INTO Temp
Exec [Test_Sp] 23;
Entonces
INSERT INTO @testTbl(Name,Age)
select name,age from temp
Opción 2:
Modifique su sproc y agregue un parámetro de tipo de datos de bits más @limitedcolumnIf @limitedcolumn=true, devuelve solo las columnas requeridas; de lo contrario, devuelve todas las columnas
INSERT INTO @testTbl(Name,Age) EXEC [Test_Sp] 23,true;