Nunca asignó su cadena de conexión al objeto de conexión, tal como dice el error.
Inserte una línea configurando la cadena de conexión antes de con.open.
Con.connectionstring = connection
Con.Open()
O mejor aún, cambie su declaración de uso de la siguiente manera
Dim Connection As String = "Data Source=.\SQLEXPRESS;AttachDbFilename=G:\VB Project\Library Catalog System\Library Catalog System\library.mdf;Integrated
Security=True;Connect Timeout=30;User Instance=True"
Using Con As New SqlConnection(connection)
