Puede intentar actualizar su código para usar un valor parametrizado que se adapte a las comillas en una cadena:
$query = "INSERT INTO People(name) VALUES(@name)"
$command = $connection.CreateCommand()
$command.CommandText = $query
$command.Parameters.Add("@name", $name) -- | Out-Null (may be required on the end)
$command.ExecuteNonQuery()
No tengo experiencia con PowerShell, pero hice referencia a esta publicación para un consulta parametrizada :
